Производная

Значение производной $f^{\prime }(x_0)$ равно угловому коэффициенту касательной к графику $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$: $f^{\prime }(x_0)=k=\mathrm{tg}\alpha$. Угловой коэффициент прямой через точки $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$: $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, $(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$; $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$.

Если $f^{\prime }(x)>0$ на промежутке, функция на нём возрастает; если $f^{\prime }(x)<0$ — убывает.

Если при переходе через $x_0$ производная меняет знак с «+» на «−», то $x_0$ — точка максимума; с «−» на «+» — точка минимума.

Непрерывная на отрезке функция достигает наибольшего и наименьшего значений либо в критических точках внутри отрезка, либо на концах. Найдите $f^{\prime }$, её нули на отрезке и сравните значения функции в этих точках и на концах (или исследуйте знак $f^{\prime }$).